Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，O為BC中點，如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，設AM的長為x，CN的長為y，且x、y滿足等式

x-a

+

x-y

=0（a＞0）．
（1）求證：BM=AN；
（2）請你判斷△OMN的形狀，并證明你的結論；
（3）求證：當OM∥AC時，無論a取何正數，△OMN與△ABC面積的比總是定值

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由等式可得出x=y=a，結合等腰直角三角形的性質，即可證得；
（2）作OE⊥AC，OF⊥AB，通過證明△OFM≌△OEN，可得OM=ON，根據全等三角形的性質，只要證得∠MON=90°，即可證得；
（3）當OM∥AC時，OM、ON是等腰Rt△ABC的中位線，由三角形的面積計算公式，表示出三角形的面積，比較出其比值即可；

解答：（1）證明：∵x、y滿足等式

x-a

+

x-y

=0（a＞0），
∴x=y=a，即AM=CN=a，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，
∴AB=AC，
∴BM=AN；

（2）解：△OME是等腰直角三角形．
證明：作OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠OFM=∠ONE=∠FOE=90°，
∵點O是BC的中點，
∴OE=OF=

1

2

AB=

1

2

AC，AF=BF，AE=CE，
∴OF=OE，AF=CE，
∴AF-AM=CE-CN，
∴MF=NE，
∴在△OFM和△OEN中

OF=OE ∠OFM=∠OEN FM=EN

，
∴△OFM≌△OEN，
∴OM=ON，∠MOF=∠NOE，
∵∠FOM+∠MOE=90°，
∴∠MOE+∠NOE=∠MON=90°，
∴△OME是等腰直角三角形；

（3）證明：當OM∥AC時，
∵點O為BC的中點，
∴OM∥AC，OM=

1

2

AC，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴ON∥AB，ON=

1

2

AB，
∴OM=ON=a，AB=AC=2a，
又∵S_△OMN=

1

2

OM×ON=

1

2

a2，
S_△ABC=

1

2

AB×AC=2a²，
∴S_△OMN：S_△ABC=

1

4

．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的性質和非負數的性質，考查了學生的綜合運用能力和空間想象能力．