Question

已知邊長為10的菱形ABCD，對角線BD=16，過線段BD上的一個動點P（不與B、D重合）分別向AB、AD作垂線段，垂足分別為E、F．

（1）如圖1，求證：△PBE∽△PDE；
（2）連接PC，當PE+PF+PC取最小值時，求線段BP的長；
（3）如圖2，對角線BD、AC交于點O，作以PO為半徑（PO＞0）的⊙P，試求
①⊙P與線段BC有一個公共點，線段BP長度的取值范圍；
②⊙P與線段BC有兩個公共點時，線段BP長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據菱形性質得出∠ABD=∠ADB，根據相似三角形的判定推出即可；
（2）連接AC交BD于O，延長FP交BC于M，求出FM長，得出CP取最小值時PE+PF+CP的值最小，得出P和O重合，求出即可；
（3））①過P作PG⊥BC于G，設PB=x，當P在線段BO上時，PO=8-x，PG=

3

5

x，當OP=PB時，⊙P經過P點，8-x=x，求出x的值，即可得出答案；②根據①的結果即可得出答案．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠BEP=∠DFP=90°，
∴△PBE∽△PDF；

（2）如圖1，連接AC交BD于O，延長FP交BC于M，
則FM⊥BC，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵PM⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PM，
∴PE+PF=PM+PF=FM，
在直角三角形AOB中，BO=

1

2

BD=8，
∴AO=

AB2-BO2

=

102-82

=6，
∴AC=2AO=12，
∵S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=BC•FM，
∴FM=

48

5

，
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
所以當CP⊥BD時，即P和O重合時，PC最小，此時BP=BO=

1

2

BD=8．

（3）①過P作PG⊥BC于G，設PB=x，當P在線段BO上時，PO=8-x，PG=

3

5

x，
如圖2、當PO=PG時，⊙P與直線BC相切，8-x=

3

5

x，x=5；
如圖3、當OP=PB時，⊙P經過B點，8-x=x，x=4，
即當0＜x≤4或x=5時，⊙P與線段BC有一個公共點，
∴⊙P與線段BC有一個公共點，線段BP長度的取值范圍是0＜BP≤4或BP=5時；
②由①知：當4＜x＜5時，⊙P與線段BC有兩個公共點，
當P在線段OD上時，PO=x-8，PG=

3

5

x，
當PO=PG時，⊙P與直線BC相切，x-8=

3

5

x，
x=20＞BD，
即此時⊙P不可能與直線BC相切，更不可能相交，
綜合所述，4＜BP＜5時，⊙P與直線BC有兩個公共點，
即⊙P與線段BC有兩個公共點時，線段BP長度的取值范圍是4＜BP＜5．

點評：本題考查了切線的判定，直線與圓的位置關系，解一元一次方程等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，注意：要進行分類討論啊．