Question

已知邊長為10的菱形ABCD，對角線BD=16，過線段BD上的一個動點P（不與B、D重合）分別向直線AB、AD作垂線，垂足分別為E、F．
（1）如圖1，求證：△PBE∽△PDF；
（2）連接PC，當PE+PF+PC取最小值時，求PB的長；
（3）如圖2，對角線BD、AC交于點O，以PO為半徑（PO＞0）的⊙P與以DF為半徑的⊙D相切時，求PB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據菱形的性質對角線互相垂直、四條邊相等來證明△PBE∽△PDF；
（2）作輔助線：連接AC交BD于點O．則AC⊥BD，延長FP交BC于點M．則FM⊥BC．根據角平分線的性質求得PM=PE；然后根據菱形對角線相互平分知，BD=2BO，從而求得BO=8，在直角三角形AOB中利用邊角勾股定理求得AC的長度；最后由菱形的面積求得FM的長度，所以要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．所以當CP⊥BD，即點P與點O重合時，PE+PF+PC的值最小；
（3）分類討論：①當⊙P與⊙D外切時：情況一：（如圖2）當P點在點O的左側，PO=OB-PB=8-x，此時PO+DF=PD；情況二：（如圖3），當P點在點O的右側，PO=PB-OB=x-8，此時PO+DF=PD；②當⊙P與⊙D內切時：PO=PB-OB=x-8．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，∠BEP=∠DFP，
∴△PBE∽△PDF；

（2）如圖1，連接AC交BD于點O．則AC⊥BD，延長FP交BC于點M，則FM⊥BC．
∵PM=PE，
∴PE+PF=PF+PM=FM
在直角三角形AOB中，BO=BD=8，
∴AO===6；
∴AC=2AO=12；
又∵S_菱形ABCD=AC•BD=BC•FM，
∴×12×16=10•FM，即FM=；
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．所以當CP⊥BD，即點P與點O重合時，PE+PF+PC的值最小．
此時PB=BO=BD=8；

（3）設PB=x，則PD=BD-PB=16-x．
∵PF⊥AD，
∴在Rt△PFD中，DF=DP•cos∠ADB=（16-x）；
①當⊙P與⊙D外切時：
情況一：（如圖2）當P點在點O的左側，PO=OB-PB=8-x，此時PO+DF=PD，
∴（8-x）+（16-x）=16-x，
解得，x=6，即PB=6；
情況二：（如圖3），當P點在點O的右側，PO=PB-OB=x-8，
此時PO+DF=PD，
∴（x-8）+（16-x）=16-x，
解得，x=，即PB=；
②（如圖4）當⊙P與⊙D內切時：
PO=PB-OB=x-8，
∵PD＞DF，
∴PO-DF=PD，
∴（x-8）-（16-x）=16-x，
解得，x=，即PB=；
綜上所述，以PO（PO＞0）為半徑的⊙P與以DF為半徑的⊙D相切時，PB的長為6、或或．
點評：本題綜合考查了菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理的應用及兩相切圓的性質．解答此題時，注意要分類討論，以防漏解．比如解答（3）題時，兩圓相切可以分為外切和內切兩種情況，所以在解答時必須做到全面的考慮．