Question

已知互不相等的實數a，b，c滿足a+

1

b

=b+

1

c

=c+

1

a

=t，則t=

±1

．

Answer 1

分析：首先設a+

1

b

=t，可得b=

1

t-a

，代入b+

1

c

=t，整理可得ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①，又由c+

1

a

=t，可得ac+1=at②，將②代入①，即可得（c-a）（t²-1）=0，又由實數a，b，c互不相等，即可求得答案．

解答：解：設a+

1

b

=t，
則b=

1

t-a

，
代入b+

1

c

=t，得：

1

t-a

+

1

c

=t，
整理得：ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①
又由c+

1

a

=t，可得ac+1=at②，
把②代入①式得ct²-at²+（a-c）=0，
即（c-a）（t²-1）=0，
又∵c≠a，
∴t²-1=0，
∴t=±1．
驗證可知：b=

1

1-a

，c=

a-1

a

時，t=1； b=-

1

1+a

，c=-

a+1

a

時，t=-1．
∴t=±1．
故答案為：±1．

點評：此題考查了對稱式和輪換對稱式的知識．此題難度比較大，注意設a+

1

b

=t，從而得到方程ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①與ac+1=at②是解此題的關鍵．