Question

如圖，在坐標系中有一點A（-1，2），關于直線x=1對稱得點B，將點B向上平移m個單位得到點C，
（1）用m表示C點的坐標；
（2）在x軸上存在一點P（n，0），使PA+PC的值最小，求n的值．

Answer 1

分析：（1）因為A和B關于直線x=1對稱，所以可以求出B的坐標，又因為C是將點B向上平移m個單位得，根據平移的規律可得到C的坐標；
（2）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′C，其與x軸的交點即為所求的點P．

解答：解（1）∵點A（-1，2），點B和點A關于直線x=1對稱，
∴B點的坐標為（3，2），
∵將點B向上平移m個單位得到點C，
∴C點D的坐標是（3，2+m）；

（2）作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′C，A′C與x軸的交點即為所求的點P，
則點A關于x軸的對稱點A′（-1，-2），
設直線CA′的解析式為y=kx+b，
過點C（3，2+m）和A′（-1，-2），
∴

-k+b=-2  3k+b=2+m

，
解得：

k=1+ m 4 b=-1+ m 4

，
∴y=（1+

m

4

）x-1+

m

4

，
∵y=（1+

m

4

）x-1+

m

4

與x軸的交點就是y=0時，
即（1+

m

4

）x-1+

m

4

=0，
解得：x=

1- m 4

1+ m 4

，
∴點P的坐標是（

1- m 4

1+ m 4

，0）．
即存在這樣的點P使PA+PC的值最小，P點的坐標為（

1- m 4

1+ m 4

，0）．

點評：本題考查軸對稱-最短路線問題，注意掌握兩點關于某條直線對稱，橫縱坐標中有一個坐標是相等的，另一坐標為2×對稱軸-已知點的坐標；凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．