Question

【題目】某玩具由一個圓形區域和一個扇形區域組成，如圖，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1與O2C、O2D分別切于點A、B，已知∠CO2D＝60°，E、F是直線O1O2與⊙O1、扇形O2CD的兩個交點，且EF＝24cm，設⊙O1的半徑為xcm，

（1）用含x的代數式表示扇形O2CD的半徑；

（2）若⊙O1和扇形O2CD兩個區域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當⊙O1的半徑為多少時，該玩具的制作成本最小？

Answer 1

【答案】（1）扇形O2CD的半徑為（24-3x）cm；（2）當⊙O1的半徑為4cm時，該玩具的制作成本最小．

【解析】

（1）連接O1A．利用切線的性質知∠AO2O1=∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”求得O1O2=2xcm；最后由圖形中線段間的和差關系求得扇形O2CD的半徑FO2為：EF-EO1-O1O2=（24-3x）cm；
（2）設該玩具的制作成本為y元，則根據圓形的面積公式和扇形的面積公式列出y與x間的函數關系，然后利用二次函數的最值即可求得結果．

解：（1）連接O1A．

∵⊙O1與O2C、O2D分別切一點A、B，
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，
∴∠AO2O1=∠CO2D=30°，
∴在Rt△O1AO2中，O1O2=2AO1=2x cm．
∴FO2=EF-EO1-O1O2=（24-3x）cm，

即扇形O2CD的半徑為（24-3x）cm．
（2）設該玩具的制作成本為y元，則
y=0.45πx2+0.06×=0.9πx2-7.2πx+28.8π=0.9π（x-4）2+14.4π，
所以當x=4時，y的值最小．
答：當⊙O1的半徑為4cm時，該玩具的制作成本最小．