Question

以電視塔OC所在的直線為y軸，垂直于OC的直線OA為x軸建立直角坐標系，測得山坡坡角A距電視塔腳O的距離為300米，在A處觀察塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，如果山坡坡度為，且測傾器的高度不計，請回答下列問題：
（1）直接寫出A，C兩點的坐標：A______　C______
（2）求點P的鉛直高度．（結果保留根號形式）

Answer 1

解：（1）∵OA=300米，
∴A（300，0）．
在Rt△AOC中，∠AOC=60°，
∴tan60°=
∴=，
∴=，
∴OC=300米，
∴C（0，300）．
故答案為：（300，0），（0，300）．

（2）過點P作PD⊥OB于D，PE⊥OC于E，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四邊形EODP是矩形，
∴EO=PD，EP=OD．
∵tan∠PAD==，
∴AD=2PD．
設PD=x，則OE=x，AD=2x，OD=300+2x，
∴EC=300-x，EP=300+2x．
∵∠CPE=45°，
∴∠PCE=45°，
∴∠PCE=∠PEC，
∴EC=PE，
∴300-x=300+2x，
∴x=100-100．
答：點P的鉛直高度為（100-100）米．
分析：（1）通過觀察由圖象直接可以得出A點的坐標，再利用正切值就可以求出OC的值，從而可以求出C點的坐標；
（2）過點P作PD⊥OB于D，PE⊥OC于E，設PD=x，則有OE=x，AD=2x，由條件可以求出CE=PE，建立方程可以求出其解．
點評：本題考查了解直角三角形正切值的運用，坡度的運用，矩形的判定及性質的運用，求點的坐標的運用，要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形是關鍵．