Question

如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點同時從P、B出發分別以1cm/s和2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）．已知C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC．
（1）線段AP與線段AB的數量關系是：

 

；
（2）若Q是線段AB上一點，且AQ-BQ=PQ，求證：AP=PQ；
（3）若C、D運動5秒后，恰好有CD=

1

2

AB，此時C點停止運動，D點在線段PB上繼續運動，M、N分別是CD、PD的中點，問

MN

AB

的值是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出

MN

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據BD=2PC可知PD=2AC，故可得出BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，所以點P在線段AB上的

1

3

處；
（2）由題意得AQ＞BQ，故AQ=AP+PQ，再根據AQ-BQ=PQ，可知AQ=BQ+PQ，故AP=BQ，由（1）得，AP=

1

3

AB，故PQ=AB-AP-BQ=

1

3

AB；
（3）當C點停止運動時，有CD=

1

2

AB，故AC+BD=

1

2

AB，所以AP-PC+BD=

1

2

AB，再由AP=

1

3

AB，PC=5cm，BD=10cm，所以

1

3

AB-5+10=

1

2

AB，解得AB=30cm，再根據M是CD中點，N是PD中點可得出MN的長，進而可得出結論．

解答：解：（1）根據C、D的運動速度知：BD=2PC，
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴點P在線段AB上的

1

3

處，即AB=3P．
故答案為：AB=3P； 
                                         
（2）證明：如圖1，由題意得AQ＞BQ，
∴AQ=AP+PQ，
又∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=BQ+PQ，
∴AP=BQ．                                                           
由（1）得，AP=

1

3

AB，
∴PQ=AB-AP-BQ=

1

3

AB．                                           

（3）

MN

AB

的值不變．
理由：如圖2，當C點停止運動時，有CD=

1

2

AB，
∴AC+BD=

1

2

AB，
∴AP-PC+BD=

1

2

AB，
∵AP=

1

3

AB，PC=5cm，BD=10cm，
∴

1

3

AB-5+10=

1

2

AB，
解得AB=30cm．                                                      
∵M是CD中點，N是PD中點，
∴MN=MD-ND=

1

2

CD-

1

2

PD=

1

2

CP=

5

2

cm，
∴

MN

AB

=

1

12

．

點評：本題考查的是兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數關系是解答此題的關鍵．