Question

（2006•蘭州）在⊙O的內接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足為D，且AD=3，設⊙O的半徑為y，AB的長為x．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）當AB的長等于多少時，⊙O的面積最大，并求出⊙O的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，需作出圓的直徑AE，利用直徑所對的圓周角是直角，得出△ABD∽△AEC．根據相似三角形的性質得到邊之間的對應比相等，建立函數關系式；
（2）根據二次函數的最值的求法，結合（1）中的函數關系式進行求解．
解答：解：（1）作直徑AE，連接CE，如圖所示，則∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC．
∴，即．
整理得y=（x-6）²+6．

（2）由（1）知y=（x-6）²+6，則當x=6時，y取得最大值，最大值為6．
∴⊙O的最大面積為36π．
點評：此題主要考查三角形相似及二次函數最大值的求法．