Question

如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達點C時運動終止．連接DE、CD、AE．
（1）當動點運動幾秒時，△BDE與△ABC相似？
（2）設動點運動t秒時△ADE的面積為s，求s與t的函數解析式；
（3）在運動過程中是否存在某一時刻t，使CD⊥DE？若存在，求出時刻t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：設D點運動時間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤

5

2

），
（1）分類：當∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BAC；當∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分別根據三角形相似的性質得到比例線段求出t的值；
（2）過E作EF⊥AB于F，易證Rt△BEF∽Rt△BAC，根據三角形相似的性質得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據三角形的面積公式求解即可；
（3）先計算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根據三角形相似的性質得到比例線段求出t．

解答：解：設D點運動時間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤

5

2

），
（1）當∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴BD：BA=BE：BC，即（4-t）：4=2t：5，
∴t=

20

13

；
當∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴BD：BC=BE：BA，即（4-t）：5=2t：4，
∴t=

8

7

；
所以當動點運動

20

13

秒或

8

7

秒時，△BDE與△ABC相似；

（2）過E作EF⊥AB于F，如圖，
易證Rt△BEF∽Rt△BAC，
∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，
∴EF=

6t

5

，BF=

8t

5

，
∴S=

1

2

AD•EF=

1

2

•t•

6t

5

=

3

5

t²（0≤t≤

5

2

）；

（3）存在．
DF=AB-AD-BF=4-t-

8t

5

=4-

13

5

t，
若CD⊥DE，
易證得Rt△ACD∽Rt△FDE，
∴AC：DF=AD：EF，即3：（4-

13

5

t）=t：

6t

5

，
∴t=

2

13

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：兩組角對應相等的兩三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了勾股定理以及分類討論思想的運用．