Question

（2012•紹興三模）如圖，二次函數與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P從A點出發，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設PQ交直線AC于點G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設△PQC的面積為S，求S關于t的函數解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；
（4）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當P點運動時，線段EG的長度是否發生改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AC經過點A，C，根據拋物線的解析式面積可求得兩點坐標，利用待定系數法就可求得AC的解析式；
（2）根據三角形面積公式即可寫出解析式；
（3）可以分腰和底邊進行討論，即可確定點的坐標；
（4）過G作GH⊥y軸，根據三角形相似，相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
解答：解：（1）y=-x²+2，
x=0時，y=2，
y=0時，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
設直線AC的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；

（2）當0＜t＜2時，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=（2-t）t=-t²+t，
當2＜t≤4時，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=（t-2）t=t²-t，
∴；

（3）當AC=CM=BC時，M的坐標是：（0，），（0，-2）；
當AM=BM=CM時，M的坐標是：（0，0），（0，）；
一共四個點，（0，），（0，0），（0，），（0，-2）；

（4）當0＜t＜2時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=．
∵GH∥OP
∴即=，解得GH=，
所以GC=GH=．
于是，GE=AC-AE-GC==．
即GE的長度不變．
當2＜t≤4時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=．
由即=，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=，
所以GC=GH=．
于是，GE=AC-AE+GC=2-t+=，
即GE的長度不變．
綜合得：當P點運動時，線段EG的長度不發生改變，為定值．
點評：本題屬于一道難度較大的二次函數題，綜合考查了三角形相似的性質，需注意分類討論，全面考慮點M所在位置的各種情況．