Question

如圖所示，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上．
（1）求AM，DM的長；
（2）點M是AD的黃金分割點嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）要求AM的長，只需求得AF的長，又AF=PF-AP，PF=PD=

4+1

=

5

，則AM=AF=

5

-1，DM=AD-AM=3-

5

；
（2）根據（1）中的數據得：

AM

AD

=

5 -1

2

，根據黃金分割點的概念，則點M是AD的黃金分割點．

解答：解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=

AD2+AP2

=

4+1

=

5

，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=

5

-1，
DM=AD-AM=3-

5

．
故AM的長為

5

-1，DM的長為3-

5

；
（2）點M是AD的黃金分割點．
由于

AM

AD

=

5 -1

2

，
∴點M是AD的黃金分割點．

點評：此題綜合考查了正方形的性質、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據黃金分割的概念進行判斷．