Question

求所有滿足下列條件的四位數

.

abcd

，

.

abcd

=(

.

ab

+

.

cd

)2，其中數字c可以是0．

Answer 1

分析：首先根據題意設x=

.

ab

，y=

.

cd

，即可將四位數

.

abcd

表示為100x+y=（x+y）²，根據完全平方數與整除的性質求解即可．

解答：解：設x=

.

ab

，y=

.

cd

，
則100x+y=（x+y）²，
故x²+（2y-100）x+（y²-y）=0有整數解，
由于10＜x＜100，故y≠0．
因此△_x=（2y-100）²-4（y²-y）=4（2500-99y）是完全平方數，
可設t²=2500-99y，
故99y=（50-t）（50+t），0≤50-t＜50+t之和為100，
而且其中有11的倍數，只能有50-t=1或50-t=45，
相應得到y=1，25，代入解得

x=98 y=1

，

x=20 y=25

，

x=30 y=25

°
因此

.

abcd

=9801或2025或3025．

點評：此題考查了數字與其數位上數字的關系以及完全平方數的性質．此題難度比較大，解題時要注意題目的要求．