Question

求所有滿足下列條件的四位數：能被111整除，且除得的商等于該四位數的各位數之和．

Answer 1

分析：設出這個四位數，用十進制表示出，并利用除得的商等于該四位數的各位數之和聯立方程解決問題．

解答：解：設四位數

.

abcd

=a×10³+b×10²+c×10+d，能被111整除，則

a×103+b×102+c×10+d

111

=9a+b+

a-11b+10c+d

111

，
由-98≤a-11b+10c+d≤108，且111|

.

abcd

得a-11b+10c+d=0，
即11b=a+10c+d①，
又9a+b=a+b+c+d，
即8a=c+d②，
把②代入①得，11b=9（a+c）③，
由c+d=8a，且c+d最大值為9+9=18，知a=1或a=2，
由③得b=9，a=2，c=9，d=7，
故所求的四位數為2997．

點評：此題主要考查十進制表示數以及整除的性質解決問題．