Question

21、在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC中垂線MN上一動點，連接PA，交CB于E，F是點E關于MN的對稱點，連接PF延長交AB于D，連接CD交PA于G．

（1）若P點移動到BC上時，如圖點P，E，F重合，若PD=a，CD=b，則AP=

a+b

（用含a，b的式子表示）；
（2）若點P移動到BC的上方時，如圖，其它條件不變，求證：CD⊥AE；
（3）若點P移動到△ABC的內時，其它條件不變，線段AE，CD，DE有什么確定的數量關系，請畫出圖形，并直接寫出結論（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）可通過構建全等三角形得出角相等來求證．要證AP=CD+BD，那么就要證出PH=PD，AH=CD，那么可構建與三角形BCD全等的三角形來求解．過C作∠BCA的平分線交AP于H，那么就是證三角形ACH和BDC全等，已知AC=BC，∠ACH=∠B=45°，只要證出CH=BD就能得出兩三角形全等，那么我們可通過全等三角形CHE和BDF來求證．E，F重合，MN垂直平分BC，那么CP=PB，∠CPH=90-∠HPN=90°-∠HPD=∠DPB，而∠HCB=∠B=45°，由此可得出兩三角形全等，也就得出了CH=BD，PH=PD進而得出AH=CD，這樣就能得出AE=AH+PH=CD+PD=a+b；
（2）可通過構建全等三角形得出角相等來求證．要證CG⊥AP，那么就要證出∠BCD=∠CAH，那么可構建與三角形BCD全等的三角形來求解．過C作∠BCA的平分線交AP于H，那么就是證三角形ACH和BDC全等，已知AC=BC，∠ACH=∠B=45°，只要證出CH=BD就能得出兩三角形全等，那么我們可通過全等三角形CHE和BDF來求證．由于E，F關于MN對稱，那么CE=BF，PE=PF，可得出∠PEF=∠PFE，也就是∠CEH=∠DFB，又已知了∠HCB=∠B=45°，因此就能得出三角形CEH與DFB全等，就能得出CH=BD，也就能得出三角形AHC與三角形BDC全等了．進而可通過∠DCB=∠CAG來得出CG⊥AP；
（3）方法同（1）完全一樣．

解答：解：（1）AP=a+b；

（2）證明：作∠ACB的角平分線交AP于H，
∵∠ABC=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵AB=AC
∴∠B=45°
又∵P為BC的中垂線MN上一點，E，F關于MN對稱
∴CE=BF，PE=PF
∴∠PEF=∠PFE
∴CEH=BFD
∴△CEH≌△BFD
∴CH=BD
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE；

（3）AE=CD+DF．

點評：本題主要考查了對稱的性質，等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定等知識點，根據已知和所求的條件構建出全等三角形是解題的關鍵．