Question

【題目】已知ABCD的一組鄰邊AB、AD的長是關于x的方程x2﹣4x+m=0的兩個實根．

（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？

（2）在第（1）問的前提下，若∠ABC=60°，求ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）當m=4時，四邊形ABCD是菱形；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）四邊形ABCD是菱形時，AB=AD，由一元二次方程根的判別式=0即可求出m的值；

（2）連接AC、BD交于點O，由一元二次方程的根求出AB的長，進一步利用菱形的性質和30°角的直角三角形的性質求得對角線的長，利用面積計算方法計算得出答案即可．

解：（1）四邊形ABCD是菱形時，AB=AD，

∵AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+4=0的兩個實數根，

∴△=（﹣4）2﹣4m=0，

解得：m=4，

∴當m=4時，四邊形ABCD是菱形

（2）如圖，連接AC、BD交于點O，

當m=4時，

x2﹣4x+4=0，

解得：x1=x2=2，

則AB=2，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠ABC=30°，

D═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，

在直角△AOB中，

∵∠ABO=30°，

∴OA=AB=1，

0B=，

BD=2OB=2，

AC=2OA=2，

∴S菱形ABCD=BDAC=×2×2=2．