Question

【題目】在平面直角坐標系中，平行四邊形如圖放置，點、的坐標分別是、，將此平行四邊形繞點順時針旋轉，得到平行四邊形．

如拋物線經過點、、，求此拋物線的解析式；

在情況下，點是第一象限內拋物線上的一動點，問：當點在何處時，的面積最大？最大面積是多少？并求出此時的坐標；

在的情況下，若為拋物線上一動點，為軸上的一動點，點坐標為，當、、、構成以作為一邊的平行四邊形時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的解析式為：；(2) 當時，的面積最大，最大值，的坐標為：；(3) 點的坐標為：，，，

【解析】

（1）由平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′，且點A的坐標是（0，4），可求得點A′的坐標，然后利用待定系數法即可求得經過點C、A、A′的拋物線的解析式；

（2）首先連接AA′，設直線AA′的解析式為：y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線AA′的解析式，再設點M的坐標為：（x，-x2+3x+4），繼而可得△AMA′的面積，繼而求得答案；

（3）分別從BQ為邊與BQ為對角線去分析求解即可求得答案．

解：∵平行四邊形繞點順時針旋轉，得到平行四邊形，且點的坐標是，

∴點的坐標為：，

∵點、的坐標分別是、，拋物線經過點、、，

設拋物線的解析式為：，

∴，

解得：，

∴此拋物線的解析式為：；

連接，設直線的解析式為：，

∴，

解得：，

∴直線的解析式為：，

設點的坐標為：，

則，

∴當時，的面積最大，最大值，

∴的坐標為：；

設點的坐標為，當，，，構成平行四邊形時，

∵平行四邊形中，點、的坐標分別是、，

∴點的坐標為，

∵點坐標為，為拋物線上一動點，為軸上的一動點，

①當為邊時，，，

∵，

∴，

當時，解得：，，

∴，；

當時，解得：，，

∴，；

②當為對角線時，，，此時與，重合；

綜上可得：點的坐標為：，，，