Question

【題目】如圖，已知，二次函數的圖像交軸正半軸于點，頂點為，一次函數的圖像交軸于點，交軸于點，的正切值為.

（1）求二次函數的解析式與頂點坐標；

（2）將二次函數圖像向下平移個單位，設平移后拋物線頂點為，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為y＝x2－2x，頂點P的坐標是（1，－1）；（2）m＝.

【解析】

（1）先根據題中所給條件求出A點坐標，再利用待定系數法求出函數解析式，將求出的函數解析式化為頂點式，即可得到頂點P的坐標；（2）用含m的代數式表示出P′的坐標，用含m的代數式表示S△ABP′和S△BCP′，根據S△ABP′＝S△BCP′求出m的值即可.

（1）∵一次函數解析式為y＝x－3，

∴OC＝3，

∵tan∠OCA＝，

∴OA＝2，

∴A點坐標為（2,0），將A點坐標代入函數解析式得4＋2b＝0，

解得b＝﹣2，

∴二次函數解析式為y＝x2－2x，

將二次函數解析式化為頂點式，得y＝（x－1）2－1，

∴頂點P的坐標為（1，﹣1）.

（2）如圖所示，其中l為拋物線的對稱軸，D為l與x軸的交點，

當y＝0時，x－3＝0，解得x＝6，

∴B點坐標為（6,0），

∴AB＝6－2＝4，

在Rt△BOC中，BC＝＝，

∵P′是將二次函數圖像向下平移個單位后得到的拋物線的頂點，

∴P′的坐標為（1，﹣1－m），∴DP′＝1＋m

∴S△ABP′＝×AB×DP′＝×4×（1＋m）＝2＋2m，

當P′在直線y＝x－3的左側時，

S△BCP′＝S△BOC－（S梯形ODP′C＋S△BDP′）＝＝－3m，

∵S△ABP′＝S△BCP′，

∴2＋2m＝－3m，解得m＝，

當P′在直線y＝x－3的右側時，

S△BCP′＝（S梯形ODP′C＋S△BDP′）－S△BOC＝＝＋3m，

∵S△ABP′＝S△BCP′，

∴2＋2m＝﹣＋m，解得m＝，

綜上，m＝或.