Question

【題目】綜合與實踐：折紙中的數學

問題情境：數學活動課上，老師讓同學們折疊正方形紙片ABCD進行探究活動，興趣小組的同學經過動手操作探究，提出了如下兩個問題：

問題1：如圖（1），若點E為BC的中點，設AE將正方形紙片ABCD折疊，點B的對應點為B′，連接B′C，求證：B′C∥AE．

問題2：如圖（2），若點E，點F分別為邊BC，邊AD的中點，沿AE、CF將正方形紙片ABCD折疊，點B的對應點為B′，點D的對應點D′，D′F與AB′交于點H，B′E與CD′交于點G，求證：四邊形D′GB′H為矩形．

（1）解決問題：請你對興趣小組提出的兩個問題進行證明．

（2）拓展探究：解決完興趣小組提出的兩個問題后，實踐小組的同學們進行如下實踐操作：如圖（3），點E，點F分別為BC、AD上的點，將正方形紙片沿AE、CF折疊，使得點B落在對角線上的點B′處，點D落在對角線AC上的點D′處，AE與對角線BD的交點為M，CF與對角線BD的交點為N，分別連接MB′，B′N，D′N，D′M．他們認為四邊形MB′ND′為正方形．

實踐小組的同學們發現的結論是否正確？請你說明理由．

Answer 1

【答案】問題1：證明見解析；問題2：證明見解析；（1）解決問題：證明見解析；（2）拓展探究：實踐小組的同學們發現的結論是正確的．證明見解析.

【解析】(1)根據△ABE和△AB′E關于AE對稱，得∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，

證得∠EB′C=∠ECB′，由∠AEB=∠B′CE，得AE∥B′C，

（2）證∠D=∠D′=90°，∠AHF=∠B′HD′=90°，可得四邊形D′DB′H是矩形．

（3）連接BB′、DD′，則BB′⊥AE，DD′⊥CF．通過正方形性質，證△AMO≌△BB′O，

△BAM≌△DCN，得OM=OB′=ON=OD′，可證四邊形MB′ND′是矩形，又AC⊥BD，故四邊形MB′ND′是正方形．

（1）問題1：證明：如圖1中，

∵△ABE和△AB′E關于AE對稱，

∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，

∵BE=EC，

∴B′E=EC，

∴∠EB′C=∠ECB′，

∵∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，

∴∠AEB=∠B′CE，

∴AE∥B′C，

問題2：證明：如圖2中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF，

∴∠BAE=∠DCF，

∵∠BAE=∠B′AE，∠DCF=∠D′CF，

∴∠BAB′=∠DCD′，

∵∠D=∠D′=90°，

∴∠D′FD+∠D′CD=180°，

∵∠AFD′+∠D′FD=180°，

∴∠AFD′=∠D′CD=∠BAB′，

∵∠B′AD+∠BAB′=90°，

∴∠AFD′+∠B′AF=90°，

∴∠AHF=∠B′HD′=90°，

∴四邊形D′DB′H是矩形．

（2）拓展探究：實踐小組的同學們發現的結論是正確的．

證明：如圖3中，連接BB′、DD′，則BB′⊥AE，DD′⊥CF．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，

∴∠MAO+∠AMO=90°，∠OBB′+∠BME=90°，

∵∠AMO=∠BME，

∴∠MAO=∠OB′B，

∴△AMO≌△BB′O，

∴OM=OB′，同理ON=OD′，

∵∠BAM=∠DCN，∠ABM=∠CDN，AB=CD，

∴△BAM≌△DCN，

∴MB=DN．

∴OM=ON，

∴OM=OB′=ON=OD′，

∴四邊形MB′ND′是矩形，

∴AC⊥BD，

∴四邊形MB′ND′是正方形．