Question

某品牌產品公司獻愛心，捐出了二月份的全部利潤．已知該公司二月份只售出了A、B、C三種型號的產品若干件，每種型號產品不少于4件，二月份支出包括這批產品進貨款20萬元和其他各項支出（含人員工資和雜項開支）1.9萬元．這三種產品的售價和進價如下表，人員工資y₁（萬元）和雜項支出y₂（萬元）分別與銷售總量x（件）成一次函數關系（如圖）．

型號	甲	乙	丙
進價（萬元/件）	0.5	0.8	0.7
售價（萬元/件）	0.8	1.2	0.9

（1）求y₁與x的函數關系；
（2）求二月份該公司的總銷售量；
（3）設公司二月份售出A種產品t件，二月份總銷售利潤為W（萬元），求W與t的函數關系式及t的取值范圍；
（4）請求出該公司這次愛心捐款金額的最大值．

Answer 1

解：（1）設y₁與x的函數關系為y₁=kx+b，
如圖所示：圖象過（10，0.6），（0，0.1）兩點，代入解析式得：
，
解得：k=0.05，b=0.1，
∴y₁與x的函數關系為y₁=0.05x+0.1；

（2）∵二月份人員工資和雜項開支1.9萬元，
人員工資y₁（萬元）和雜項支出y₂（萬元）分別與銷售總量x（件）成一次函數關系，
∴根據題意得：y₁+y₂=0.05x+0.1+0.005x+0.15=1.9，
整理得：0.055x=1.65，
解得：x=30（件）；
∴二月份該公司的總銷售量是30件；

（3）∵設公司二月份售出A種產品t件，售出B種產品x件，售出C種產品（30-t-x）件，
∵二月份該公司的總銷售量是30件；
∴30=0.5t+0.8x+（30-t-x）×0.7，
整理得：x=2t-10，
∴二月份總銷售利潤為：
W=（0.8-0.5）t+（1.2-0.8）（2t-10）+（0.9-0.7）（30-t-2t+10）-1.9，
=0.3t+0.8t-4+8-0.6t-1.9，
=0.5t+2.1，
∴W與t的函數關系式為：w=0.5t+2.1，
∵每種型號產品不少于4件，
t的取值范圍是：7≤t≤12；

（4）∵W與t的函數關系式為：w=0.5t+2.1，
∴w隨t的增大而增大，當t取最大值時，w最大，
∴當t=12時，w=0.5×12+2.1=8.1萬元，
該公司這次愛心捐款金額的最大值是8.1萬元．
分析：（1）利用待定系數法，（10，0.6），（0，0.1）兩點代入解析式，求一次函數解析式；
（2）由人員工資y₁（萬元）和雜項支出y₂（萬元）分別與銷售總量x（件）成一次函數關系，直接將兩者相加即可；
（3）由設公司二月份售出A種產品t件，假設售出B種產品x件，從而表示出售出C種產品（30-t-x）件，再根據二月份該公司的總銷售量是30件；用t表示出x，結合統計表即可求出；
（4）根據一次函數的增減性即可求出．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用，每一問題之間存在著一定的聯系，所以必須保證每個問題必須正確，才能進行下一個問題的解答，利用一次函數增減性是解決第4問的關鍵．