Question

如圖，矩形ABCD，M為CD中點，點E在線段MC上運動，GH垂直平分AE，垂足為O，分別交于AD、BC于點G、H，AB=3，BC=4．
（1）求AE：GH；
（2）設CE=x，四邊形AHEG的面積為y，求y關于x的函數關系式；當y取最大值時，判斷四邊形AHEG的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過H作HF⊥AD，先根據垂直證明∠EAD=∠GHF，然后證明△AED與△HGF相似，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可；
（2）先表示出DE的長，在Rt△ADE中，利用勾股定理表示出AE，再根據AE、GH的比值表示出GH，然后即可求出四邊形AHEG的面積為y，根據x的取值范圍及二次函數的最值問題即可求解，當x=0時面積最大，也就是點C與點E重合時，此時先證明△AOG與△EOH全等，根據全等三角形對應邊相等得到OG=OH，再根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可判斷．
解答：解：（1）如圖，過H作HF⊥AD，
則∠HFG=90°，
∵GH垂直平分AE，垂足為O，
∴∠AOG=90°，
∴∠EAD+∠AGO=90°，∠GHF+∠AGO=90°，
∴∠EAD=∠GHF，
又∵∠HFG=∠D=90°，
∴△AED∽△HGF，
∴=，
∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴AD=BC=4，HF=AB=3，
∴AE：HG=4：3；

（2）∵CE=x，
∴DE=3-x，
在Rt△ADE中，AE===，
∴GH=，
∵GH垂直平分AE，
∴y=S_△AGE+S_△AHE=×AE×OG+×AE×OH
=×AE×（OG+OH）
=×AE×GH
=××
=（3-x）²+6，
即y=（3-x）²+6，
∵M為CD中點，
∴0≤x≤1.5，
∴當x=0時，y取最大值，最大值為9.375，
此時點E與點C重合，四邊形AHEG是菱形，
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAG=∠OEH，
∵GH垂直平分AE，垂足為O，
∴OA=OE，∠AOG=∠EOH，
在△AOG與△EOH中，
，
∴△AOG≌△EOH（ASA），
∴OG=OH，
∴AE與GH互相垂直平分，
∴四邊形AHEG是菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，二次函數的最值問題，線段垂直平分線的性質，以及菱形的判定，綜合性較強，難度較大，但仔細分析也不難求解．