Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=9cm，CD=3cm，AD=6cm．點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向終點B運動；點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿CD向終點D運動（P、Q兩點中，有一個點運動到終點時，所有運動即終止），設P、Q同時出發并運動了t秒．
（1）當DQ=AP時，四邊形APQD是平行四邊形，求出此時t的值；
（2）當PQ將梯形ABCD分成一個平行四邊形和一個等邊三角形時，求t的值；
（3）試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形對邊相等的性質，求出t值；
（2）當PQ將梯形ABCD分成一個平行四邊形和一個等邊三角形時，即Q點運動到D點時，t值為3秒；
（3）先假設存在，求一下t的值，若符合題意則存在，不合題意則不存在．

解答：解：（1）∵四邊形APQD是平行四邊形，
∴DQ=AP，即3-t=2t，解得t=1（s），

（2）當PQ將梯形ABCD分成一個平行四邊形和一個等邊三角形時，Q點運動到D點，即
9-2t=3，解得t=3；

（3）假設存在這樣的t值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，即S_梯形APQD=S_梯形BPQC，
過點DDE⊥AB，DF∥BC，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∵AB=9cm，CD=3cm，AF=AB-BF=AB-CD=6cm，AD=BC=DF=6cm，
∴△ADF是等邊三角形，
∴由勾股定理得DE=3

3

，

3 3

2

(3-t+2t)=

3 3

2

(t+9-2t)，解得，t=3，
∴t=3時，四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．即（2）中的情況．

點評：本題主要考查等腰梯形的性質的應用．還考查了動點問題，分類討論的思想．