Question

已知正比例函數y=2x的圖象與反比例函數y=（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為P點，已知△OAP的面積為．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）如果點B為反比例函數在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且點B的橫坐標為1，在x軸上求一點M，使MA+MB最小．

Answer 1

【答案】分析：反比例函數圖象上任一點向橫軸和縱軸做垂線，垂線段和橫縱軸所圍成矩形的面積即為k的絕對值，由圖象分布的象限可求得K的值，由解析式可求得點的坐標，由點的坐標用待定系數法可求得函數解析式．
（1）設A點坐標為（x，y）則OP=x，PA=y，根據△OAP的面積為可得xy=1，再由點A在反比例函數圖象上，可知k=xy=1，即可得到反比例函數關系式；
（2）作A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于M點，這時MA+MB最小．首先求出B點坐標，再利用函數關系式算出A、A′的坐標，再利用A、B兩點坐標利用待定系數法算出直線AB的函數解析式，最后根據函數解析式求出M點坐標即可．
解答：（1）設A點坐標為（x，y）由題意可知OP=x，PA=y
∴S_△AOP=xy=，
∴xy=1，
∵點A在反比例函數圖象上，
∴k=xy=1，
∴y=；

（2）作A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于M點，這時MA+MB最小．
∵點B的橫坐標是1，
∴點B的縱坐標是y==1，
∴B（1，1），
∵A點是正比例函數y=2x的圖象與反比例函數y=的圖象交點，
∴2x=，
解得x=±，
∵點A在第一象限，
∴A點的橫坐標是，
∴點A的坐標（，），
∴點A關于x軸對稱的點A′的坐標是（，-），
設直線A′B的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入得：
，
解之得，
∴直線AB的解析式為y=（4+3）x-3-3，
當y=0時，x==，
故M（，0）．
點評：此題主要考查了反比例函數與一次函數的圖象和性質，軸對稱的性質，待定系數法求解析式，解決此題的難點是確定M點的位置，在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．