Question

如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在C（1，

1

2

）處，兩直角邊分別與x，y軸平行，紙板的另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B恰好是直線y=kx+

9

2

與雙曲線y=

m

x

（m＞0）的交點(diǎn)．
（1）求m和k的值；
（2）設(shè)雙曲線y=

m

x

（m＞0）在A，B之間的部分為L(zhǎng)，讓一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在L上滑動(dòng)，兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行，且與線段AB交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P使得MN=

1

2

AB，寫出你的探究過(guò)程和結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意易知點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，代入Y=

m

X

，可用含m的代數(shù)式表示它的縱坐標(biāo)；同理可表示點(diǎn)B坐標(biāo)，再代入方程組

Y=KX+ 9 2 Y= m X

即可求m和k的值；
（2）用反證法證明．假設(shè)存在，運(yùn)用一元二次方程判別式即可解出．

解答：解：（1）∵A，B在雙曲線y=

m

x

（m＞0）上，AC∥y軸，BC∥x軸，
∴A，B的坐標(biāo)分別（1，m），（2m，

1

2

）．（1分）
又點(diǎn)A，B在直線y=kx+

9

2

上，
∴

m=k+ 9 2 1 2 =2mk+ 9 2

（2分）
解得

k=-4 m= 1 2

或

k=- 1 2 m=4

（4分）
當(dāng)k=-4且m=

1

2

時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都是（1，

1

2

)，不合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)k=-

1

2

且m=4時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4），（8，

1

2

)，符合題意．
∴k=-

1

2

且m=4．（5分）

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使得MN=

1

2

AB．
∵AC∥y軸，MP∥y軸，
∴AC∥MP，
∴∠PMN=∠CAB，
∴Rt△ACB∽R(shí)t△MPN，
∴

MP

AC

=

MN

AB

=

1

2

，（7分）
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，

4

x

）（1＜x＜8），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，-

1

2

x+

9

2

），
∴MP=-

1

2

x+

9

2

-

4

x

．
又∵AC=4-

1

2

=

7

2

，
∴-

1

2

x+

9

2

-

4

x

=

7

4

，即2x²-11x+16=0（※）（9分）
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0．
∴方程（※）無(wú)實(shí)數(shù)根．
∴不存在點(diǎn)P使得MN=

1

2

AB．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，考查反比例函數(shù)的性質(zhì)及坐標(biāo)意義．解答此題時(shí)同學(xué)們要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．