Question

（10分）已知：在△ABC中，∠CAB=2，且0°<<30°，AP平分∠CAB.

如圖,若=21°∠ABC=32°,且AP交BC于點P,試探究線段AB,AC與PB之間的數量關系,并對你的結論加以證明（1）寫出線段AB,AC與PB之間有怎樣的數量關系

（2）證明上面的結論

Answer 1

解（1）AB-AC=PB

（2）證明：在AB上截取AD，使AD=AC

∵AP平分∠CAB，

∴∠1=∠2.

在△ACP和△ADP中

∴△ACP≌△ADP

∴∠C=∠3.

∵在△ABC中, ∠CAB=2=2×21°=42°, ∠ABC=32°

∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°

∴∠3=106°

∴∠4=180°-∠3=180°-106°=74°

∴∠5=∠3-∠ABC=106°-32°=74°

∴∠4=∠5

∴PB=DB

∴AB-AC=AB-AD=DB=PB

【解析】

試題分析：（1）可得結論：AB-AC=PB；（2）在AB上截取AD，使AD=AC，根據已知條件可證△ACP≌△ADP，可得∠C=∠3， 根據三角形內角和定理可求出∠C的度數，即可得出∠3的度數，根據平角定義可求得∠4，根據三角形的外角性質求出∠5，即可得出∠4=∠5，可得PB=DB，即可得出結論.

考點：全等三角形的判定與性質；三角形的外角性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定.