Question

（2010•邢臺二模）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°．點Q從點D出發沿折線DC→CA→AB以每秒3個單位長的速度勻速運動；點P從點B沿BC以每秒1個單位長的速度勻速運動，射線PK隨點P移動，保持與BC垂直，且交折線AB-AC于點E，交直線AD于點F，當點Q運動到點B時，停止運動，點P也隨之停止．P、Q兩點同時出發，設Q運動的時間為t（s）．
（1）當t為何值時，BP=AF？
（2）當t為何值時，QE⊥AB？
（3）設直線PK掃過菱形ABCD的面積為S，試求S和t之間的函數關系式；
（4）當Q在線段CD上運動時，請直接寫出△PQF為等腰三角形時t的值．

Answer 1

分析：（1）當E是AB的中點時，AF=BP，根據PF⊥BC，∠ABC=60°，可求解．
（2）當Q在CD上，AC上，AB上運動時，根據不同情況求出解．
（3）開始掃過的是三角形的面積，以后掃過的是四邊形的面積，根據面積公式可求出函數式．
（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形，根據此可求出解．

解答：解：（1）∵PF⊥BC，∠ABC=60°，AB=10，
∴PF=5

3

，
∵E為PF的中點，
∴PE=

5 3

2

，
∴BP=

5

2

，
∴t=

5

2

．

（2）當點Q在DC上時，
3t-5=10-2t
t=3．
當點Q在AC上運動時，不可能．
當Q在AB上運動時，
10-（10-t）-（3t-20）=5
t=7.5．

（3）在前5秒鐘內，BP=t，PE=

3

t，
∴S=

3

2

t²（0≤t≤5）．
在5秒后運動時，掃過的面積是梯形，
S=

1

2

（t-5+t）5

3

=5

3

t-

25

2

3

．

（4）△PQF為等腰三角形時，t=

5

3

，

60-15 3

13

．

點評：本題考查了菱形的性質，菱形的四邊相等，等腰三角形的判定以及全等三角形的判定和性質．