Question

（2006•佛山）已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分．
問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似（注：在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應的點C的坐標）．

Answer 1

【答案】分析：按照公共銳角進行分類，可以分為兩種情況：當∠BOA為公共銳角時，只存在∠PCO為直角的情況；當∠B為公共銳角時，存在∠PCB和∠BPC為直角兩種情況．如圖，C₁（3，0），C₂（6，4），C₃（6，）．
解答：解：過P作PC₁⊥OA，垂足是C₁，
則△OC₁P∽△OAB．
點C₁坐標是（3，0）．（2分）
過P作PC₂⊥AB，垂足是C₂，
則△PC₂B∽△OAB．
點C₂坐標是（6，4）．（4分）
過P作PC₃⊥OB，垂足是P（如圖），
則△C₃PB∽△OAB，
∴．（6分）
易知OB=10，BP=5，BA=8，
∴，．（8分）
∴．（9分）
符合要求的點C有三個，其連線段分別是PC₁，PC₂，PC₃（如圖）．（10分）
點評：本題實質上就是畫直角三角形OAB的相似三角形，只不過所畫的相似三角形點P已經確定了，所以就要根據網格找出三邊的長，再利用對應邊相似比相等，畫出相似三角形．