Question

如圖，點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…，B_n（n，y_n）（n是正整數）依次為一次函數y=

1

4

x+

1

12

的圖象上的點，點A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）（n是正整數）依次是x軸正半軸上的點，已知x₁=a（0＜a＜1），△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…△A_nB_nA_n+1分別是以B₁，B₂，B₃，…，B_n為頂點的等腰三角形．
（1）寫出B₂，B_n兩點的坐標；
（2）求x₂，x₃（用含a的代數式表示）；分析圖形中各等腰三角形底邊長度之間的關系，寫出你認為成立的兩個結論；
（3）當a（0＜a＜1）變化時，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相應的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…，B_n（n，y_n）（n是正整數）依次為一次函數y=

1

4

x+

1

12

的圖象上的點，所以分別令x=2，x=n，求出相應的y值即可；
（2）因為△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…△A_nB_nA_n+1分別是以B₁，B₂，B₃，…，B_n為頂點的等腰三角形，利用等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊，可知x₂-1=1-x₁，x₃-2=2-x₂，其中x₁=a，所以x₂=2-a，x₃=4-x₂=2+a，
分析圖形中各等腰三角形底邊長度之間的關系時，分兩種情況，當頂點為B₁，B₃，B₅，等奇數位置上的等腰三角形底邊長都等于2-2a；頂點為B₂，B₄，B₆，等偶數位置上的等腰三角形底邊長都等于2a；
（3）可設第n個等腰三角形恰好為直角三角形，那么這個三角形的底邊等于高y_n的2倍．由第（2）小題的結論可知：
當n為奇數時，有2-2a=2（

n

4

+

1

12

)，化簡得到用a表示n的式子，結合a的取值范圍，求出n的取值范圍，利用n是正整數，即可求出n的值；當n為偶數時，有2a=2（

n

4

+

1

12

)，同樣化簡得到用a表示n的式子，結合a的取值范圍，求出n的取值范圍，利用n是正整數，即可求出n的值．

解答：解：（1）B2(2，

7

12

)，Bn(n，

n

4

+

1

12

)；

（2）x₂=2-a，x₃=2+a，
結論1：頂點為B₁，B₃，B₅，等奇數位置上的等腰三角形底邊長都等于2-2a，
結論2：頂點為B₂，B₄，B₆，等偶數位置上的等腰三角形底邊長都等于2a，
結論3：每相鄰的兩個等腰三角形底邊之和都等于常數2．

（3）設第n個等腰三角形恰好為直角三角形，那么這個三角形的底邊等于高y_n的2倍．由第（2）小題的結論可知：
當n為奇數時，有2-2a=2（

n

4

+

1

12

)，化簡得：n=-4a+

11

3

(0＜a＜1)，
∴-

1

3

＜n＜

11

3

，∴n=1或3
∴a=

2

3

或

1

6

，
當n為偶數時，有2a=2(

n

4

+

1

12

)，得：n=4a-

1

3

(0＜a＜1)，
∴-

1

3

＜n＜

11

3

，∴n=2
∴a=

7

12

，
綜上所述，存在直角三角形，且a=

2

3

或

1

6

或

7

12

．

點評：本題需利用數形結合的思想，靈活運用一次函數同等腰三角形的性質來解決問題．