Question

如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為1，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析：（1）過O作ON⊥CD于N，連接OM，由切線的性質可知，OM⊥BC，再由AC是正方形ABCD的對角線可知AC是
∠BCD的平分線，由角平分線的性質可知OM=ON，故CD與⊙O相切；
（2）先根據正方形的性質得出△MOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC的長，進而可求出AC的長，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AB的長．

解答：（1）證明：過O作ON⊥CD于N，連接OM，
∵⊙O與BC相切于點M，
∴OM⊥BC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=90°，AB∥CD
∴AB∥OM∥DC，
∵AC為正方形ABCD對角線，
∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，
∵OM=ON，
∴CD與⊙O相切；

（2）解：由（1）易知△MOC為等腰直角三角形，OM為半徑，
∴OM=MC=1，
∴OC²=OM²+MC²=1+1=2，
∴OC=

2

．
∴AC=AO+OC=1+

2

，
在Rt△ABC中，AB=BC，
有AC²=AB²+BC²，
∴2AB²=AC²，
∴AB=

1+ 2

2

=

2 +2

2

．
故正方形ABCD的邊長為

2 +2

2

．

點評：本題考查的是正方形的性質及勾股定理、切線的判定與性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．