Question

（2011山東煙臺，25，12分）
已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P.設(shè)⊙O的半徑為r.
（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE·OP＝r²
（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

Answer 1

     
（1）證明：連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.
∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.
∴.∴OE·OP＝OF²＝r².
（2）解：（1）中的結(jié)論成立.
理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.
∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.
∴，∴OE·OP＝OF²＝r².

解析