Question

如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，連AD，BE，F為線段AD的中點，連CF，
（1）如圖1，當D點在BC上時，BE與CF的數量關系是______，位置關系是______，請證明．

（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關系是否仍然成立？如果成立請證明．如果不成立，請寫出相應的正確的結論并加以證明．
（3）如圖3，把△DEC繞C點順時針旋轉45°，若∠DCF=30°，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明△BCE≌△ACD，即可證得BE與CF的關系，通過等量代換，可得∠CBE+∠BCF=90°；
（2）延長CF到M，使FM=FC，連接AM，DM，得四邊形AMDC是平行四邊形，通過證明△MAC≌△ECB，即可證明；
（3）作BC的垂直平分線，交BG于點N，連接CN，BE、CF相交于點O，設OG=x，則CG=2x，CN=BN=2x，NG=2x，即可得出．
解答：解：（1）BE與CF的數量關系是 BE=2CF，位置關系是 垂直．
證明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，
∵F為線段AD的中點，
∴CF=AF=DF=AD，
∴BE=2CF；
∵AF=CF，
∴∠DAC=∠FCA，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，
即BE⊥CF；

（2）旋轉一個銳角后，（1）中的關系依然成立．
證明：如圖2，延長CF到M，使FM=FC，連接AM，DM，
又AF=DF，
∴四邊形AMDC為平行四邊形，
∴AM=CD=CE，∠MAC=180°-∠ACD，
∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD，
即∠MAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴△MAC≌△ECB（SAS），
∴CM=BE；∠ACM=∠CBE，
∴BE=CM=2CF；
∴∠CBE+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°，
即BE⊥CF；

（3）=1+．
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質和旋轉的性質，考查了學生綜合運用知識的能力．