Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點A（6，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為該拋物線對稱軸上一點，當CM+BM最小時，求點M的坐標.

（3）拋物線上是否存在點P，使△ACP為直角三角形？若存在，有幾個？寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5x+6；（2）點M（）；（3）點P的坐標為（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．

【解析】

（1）已知C（0，6），由交點式設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣6），把C點代入即可求解；

（2）先求出拋物線的對稱軸，再作出點B關于拋物線對稱軸的對稱點（即為A點），連接AC交對稱軸于點M，再求AC與對稱軸的交點可得結果；

（3）由點P在拋物線上，可先設出P點坐標，然后分別表示出PC2、PA2 、AC2，再按照∠PAC=90°、∠PCA=90°、∠APC=90°三種情況分別求解即可.

（1）當x=0時，y=ax2+bx+6=6，則C（0，6），

設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣6），

把C（0，6）代入得a1（﹣6）=6，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣6），即y=﹣x2+5x+6；

（2）∵拋物線的對稱軸是直線x=，直線AC的解析式為y=-x+6，點B關于對稱軸直線x=的對稱點為點A，

∴連接AC，交直線x=于點M，此時點M滿足CM+BM最小，

當x=時，y=，∴點M（）

（3）設P點坐標為（x，﹣x2+5x+6），存在4個點P，使△ACP為直角三角形．

PC2=x2+（﹣x2+5x）2，PA2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，

當∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2，

∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72=x2+（﹣x2+5x）2，

整理得x2﹣4x﹣12=0，得x1=6（舍去），x2=﹣2，此時P點坐標為（﹣2，﹣8）；

當∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2，

72+x2+（﹣x2+5x）2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，

整理得x2﹣4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此時P點坐標為（4，10）；

當∠APC=90°，∵PA2+AC2=PC2，

∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2=72，

整理得x3﹣10x2+20x+24=0，

x3﹣10x2+24x﹣4x+24=0，

x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）=0，

x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）=0，

（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）=0，

而x﹣6≠0，

所以x2﹣4x﹣4=0，解得x1=2+2，x2=2﹣2，此時P點坐標為（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；

綜上所述，符合條件的點P的坐標為（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．