Question

（1）如圖（1）點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP，DE．求證：△BCP≌△DCE；

（2）直線EP交AD于F，連接BF，FC．點G是FC與BP的交點．

①若CD=2PC時，求證：BP⊥CF；

②若CD=n•PC（n是大于1的實數）時，記△BPF的面積為S₁，△DPE的面積為S₂．求證：S₁=（n+1）S₂．

 

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）∵在△BCP與△DCE中，，

∴△BCP≌△DCE（SAS）。

（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，∴∠CPE=45°。∴∠FPD=∠CPE=45°。∴∠PFD=45°。∴FD=DP。

∵CD=2PC，∴DP=CP。∴FD=CP。

∵在△BCP與△CDF中，，

∴△BCP≌△CDF（SAS）。

∴∠FCD=∠CBP。

∵∠CBP+∠BPC=90°，∴∠FCD+∠BPC=90°。

∴∠PGC=90°，即BP⊥CF。

②設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，

易知△FDP為等腰直角三角形，∴FD=DP=n﹣1。

，

，

∴S₁=（n+1）S₂

【解析】

試題分析：（1）由SAS即可證明△BCP≌△DCE。

（2）①在（1）的基礎上，再證明△BCP≌△CDF，進而得到∠FCD+∠BPC=90°，從而證明BP⊥CF。

②設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分別求出S₁與S₂的值，得，，所以S₁=（n+1）S₂結論成立。