Question

如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度數；
（2）我們把有一個內角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比

5 -1

2

．
①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由；
②求AD的長；
③在直線AB或BC上是否存在點P（點A、B除外），使△PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意設∠B=x，則∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x，列出方程即可得出∠B的度數；
（2）根據黃金三角形是一個等腰三角形，它的頂角為36°，每個底角為72°．它的腰與它的底成黃金比．當底角被平分時，角平分線分對邊也成黃金比，并形成兩個較小的等腰三角形．這兩三角形之一相似于原三角形．依此數出圖中黃金三角形的個數并作出點P．

解答：解：（1）∵BD=DC=AC．
則∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
設∠B=x，則∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；

（2）①有三個：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黃金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°．
∴△CDA是黃金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC是黃金三角形．
②△BAC是黃金三角形，
∴

AC

BC

=

5 -1

2

，
∵BC=2，∴AC=

5

-1．
∵BA=BC=2，BD=AC=

5

-1，
∴AD=BA-BD=2-（

5

-1）=3-

5

，

③存在，有三個符合條件的點P₁、P₂、P₃．
ⅰ）以CD為底邊的黃金三角形：作CD的垂直平分線分別交直線AB、BC得到點P₁、P₂．
ⅱ）以CD為腰的黃金三角形：以點C為圓心，CD為半徑作弧與BC的交點為點 P₃．

點評：本題主要考查了黃金三角形的特征．黃金三角形的一個幾何特征是：它是唯一一種能夠由5個與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形，難度適中．