Question

19、《天天伴我學數學》一道作業題．如圖1：請你想辦法求出五角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值．由于剛涉及到幾何證明，很多學生不知道如何求出其結果．下面是習題講解時，老師和學生對話的情景：老師向學生拋出問題：①觀察圖象，各個角的度數能分別求出他們的度數嗎，能的話怎么求，不能的話怎么辦？學生通過觀察回答：很明顯每個角都不規則，求不出各個角的度數．有個學生小聲的說了句：要是能把這五個角放到一塊就好了？老師回答：有想法，就去試試看．很快就有學生發現利用三角形外角性質將∠C和∠E；∠B和∠D分別用外角∠1和∠2表示．于是得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°．根據以上信息，親愛的同學們，你能求出圖2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值嗎？請給予證明．

Answer 1

分析：根據三角形外角的性質可得，∠∠BQF=∠A+∠D+∠G，再根據五邊形內角和解答即可．

解答：證明：如圖，設AF與BG相交于點Q，則∠BQF=∠A+∠D+∠G，
于是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=∠B+∠C+∠E+∠F+∠AQG
=∠B+∠C+∠E+∠F+∠BQF
=540°．

點評：本題考查了三角形外角的性質和五邊形內角和．利用三角形內角與外角的關系把所求的角的度數歸結到五邊形中，利用五邊形的內角和定理解答．