Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點．
（1）猜一猜，MN與BD的位置關系，并證明你的結論；
（2）如果∠BCD=45°，BD=2，求MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△ABC中，中線BM=AC；在直角△ADC中，DM=；在△BMD中，N是中點，所以，根據這些條件很容易推出MN⊥BD；
（2）在三角形中，一個內角的補角等于另外兩個內角的和，根據三角形的這一性質，求得∠BMD=2∠BAD=90°，所以MN=．
解答：解：（1）猜想MN⊥BD．
證明：連接BM，DM，∵∠ABC=90°，
AM=MC，
∴，
同理，
∴BM=DM，
∵BN=ND，
∴MN⊥BD

（2）∵AM=BM，
∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM，
同理∠CMD=2∠CAD，
∴∠BMD=2∠BCD=90°，
∵BM=MD，
∴△BMD是等腰直角三角形（9分），
∴．
點評：本題綜合考查了直角三角形的性質與判定，以及等腰三角形的性質．在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；在一個三角形中，只要有兩個邊相等，那么這個三角形就是等腰三角形．