Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，點P為BC邊上一動點，連接AP，過點B作BQ⊥AP，垂足為Q，連接CQ．

⑴證明：△ABP∽△BQP；

⑵當點P為BC的中點時，若∠BAC＝37°，求∠CQP的度數；

⑶當點P運動到與點C重合時，延長BQ交CD于點F，若AQ＝AD，則等于多少．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CQP＝53°；（3）.

【解析】

（1）根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可判斷．

（2）只要證明△CPQ∽△APC，可得∠PQC＝∠ACP即可解決問題．

（3）連接AF．與Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），推出DF＝QF，設AD＝AQ＝BC＝m，DF＝FQ＝x，FC＝y，CQ＝a，證明△BCQ∽△CFQ，可得，推出，即＝，由CF∥AB，可得，推出，可得，推出x2+xy﹣y2＝0，解得或（舍棄），由此即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABP＝90°，

∵BQ⊥AP，

∴∠BQP＝∠ABP＝90°，

∵∠BPQ＝∠APB，

∴△ABP∽△BQP．

（2）解：∵△ABP∽△BQP，

∴，

∴PB2＝PQPA，

∵PB＝PC，

∴PC2＝PQPA，

∴，

∵∠CPQ＝∠APC，

∴△CPQ∽△APC，

∴∠PQC＝∠ACP，

∵∠BAC＝37°，

∴∠ACB＝90°﹣37°＝53°，

∴∠CQP＝53°．

（3）解：連接AF．

∵∠D＝∠AQF＝90°，AF＝AF，AD＝AQ，

∴Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），

∴DF＝QF，設AD＝AQ＝BC＝m，DF＝FQ＝x，FC＝y，CQ＝a，

∵∠BCF＝∠CQB＝∠CQF＝90°，

∴∠BCQ+∠FCQ＝90°，∠∠CBQ＝90°，

∴∠FCQ＝∠CBQ，

∴△BCQ∽△CFQ，

,

,

,

∵CF∥AB，

,

,

,

∴x2+xy﹣y2＝0，

∴x＝y或y（舍棄），

,

,

故答案是：．