Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，點D為BC的中點，動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段AB向點B運動，當點P離開點A后，過點P作PE⊥AB交BC于點E，過點E作EF⊥AC于F，設點P運動時間為t（秒），矩形PEFA與△ADE重疊部分的面積為S平方單位長度．

（1）PE的長為 （用含t的代數式表示）；

（2）求S與t之間的函數表達式；

（3）求S的最大值及S取得最大值時t的值；

（4）當S為△ABC面積的時，t的值有 個．

Answer 1

【答案】(1) （4-t）．(2) S=．(3) ．(4)4.

【解析】

試題分析：（1）根據EP∥AC，得，列出比例式即可解決．

（2）分兩種情形討論①如圖1中，當0＜t≤2時，根據S=EGAP即可計算，②如圖2中，當2＜t≤4時，根據S=GEAF即可計算．

（3）分兩種情形，利用配方法根據二次函數性質即可解決．

（4）分兩種情形，列出方程即可解決，注意檢驗是否符合題意．

試題解析：（1）如圖1中，∵EP∥AC，

∴，

∴,

∴PE=（4-t）．

（2）①當0＜t≤2時，

∵∠BAC=90°，CD=DB，

∴∠DAB=∠B，∵∠APG=∠BAC=90°，

∴△APG∽△BAC，

∴，

∴，

∴PG=t，

∴EG=3-t，

∴S=EGAP=-t2+t．

②當2＜t≤4時如圖2中，∵∠FAG=∠C，∠AFG=∠BAC，

∴△AFG∽△CAB，

∴，

∴FG=4-t，GE=2t-4，

∴S=GEAF=-t2+-6．

綜上所述S=．

（3）當0＜t≤2時，S=-（t-1）2+，

∵-＜0，

∴t=1時，S最大值為，

當2＜t≤4時，S=-（t-3）2+，

∵-＜0，

∴t=3時，S最大值為．

綜上所述t=1或3時，S最大值都是．

（4）由題意-t2+t=，整理得到5t2-10t+4=0，t=符合題意．

或-t2+t-6=，整理得到5t2-30t+44=0，t=符合題意，

∴S為△ABC面積的時，t的值有四個．