Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，BD為對角線，點M從A點出發沿折線段A-B-C以每秒4個單位長度向C點運動，同時，點N從B點出發沿線段BD以每秒2

3

個單位長度向D點運動，若運動的時間為t秒，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．
（1）求BC、BD的長；
（2）當點M在線段AB上時（與A、B不重合），求當t為何值時，四邊形AMND的面積等于為

29

2

3

？
（3）求當t為何值時，△BMN與△ABD相似？

Answer 1

分析：（1）根據等腰梯形的性質：兩腰相等，兩個底角相等，來作答；
（2）過M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=4-2t，BN=2

3

t，然后根據題意列出代數式求值；
（3）根據相似三角形的不同的對應角與對應邊分別來解答．

解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，
∴∠BDC=180°-60°-30°=90°，
∴BC=2CD=16，BD=8

3

；

（2）過點D作梯形ABCD的高線h，則h=4

3

，
∴S_梯形ABCD=12（AD+BC）h
=12×（8+16）×4

3

=48

3

；
S_△BDC=12BC•h
=12×16×4

3

=32

3

；
∴S_△ABD=S_梯形ABCD-S_△BDC=16

3

；
過M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=12BM=4-2t，BN=2

3

t，
當0＜4t＜8，即0＜t＜2時，點M在AB上，則
S_{四邊形AMND}=16

3

-12BN•MH=16

3

-12×2

3

t•（4-2t）=2

3

t²-4

3

t+16

3

（6分）
2

3

t²-4

3

t+16

3

=

29 3

2

，（7分）
解得：t₁=

1

2

，t₂=

3

2

（9分）

（3）△BMN與△ABD相似且∠ABD=∠MBN=30°
①當△MBN∽△ABD時，

MB

BN

=

AB

BD

=

8

8 3

=

1

3

，
當0＜t＜2時，M在AB上2

3

t=

3

(8-4t)，故t1=

4

3

；
當2＜t＜4時，M在BC上2

3

t=

3

(4t-8)，故t₂=4；
②當△NBM∽△ABD時，

NB

BM

=

AB

BD

=

8

8 3

=

1

3

，即MB=

3

NB，
當0＜t＜2時，M在AB上(8-4t)=

3

•2

3

t，故t₃=

4

5

；
當2＜t＜4時，M在BC上(4t-8)=

3

•2

3

t，故t₄=-4（舍去）．
綜上所述，當t1=

4

3

、t₂=4或t₃=

4

5

時，△BMN與△ABD相似．

點評：總結：（1）等腰梯形的性質：兩腰相等、兩個底角相等；對角線平分對角；
（2）相似三角形的判定和性質，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應邊成比例，對應角相等．