Question

（2013•玉溪）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，OF⊥AC于點F，
（1）請探索OF和BC的關系并說明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）先根據垂徑定理得出AF=CF，再根據AO=BO得出OF是△ABC的中位線，由三角形的中位線定理即可得出結論；
（2）連接OC，由（1）知OF=

1

2

，再根據直角三角形的性質得出AB及AC的長，根據扇形的面積公式求出扇形AOC的度數，根據S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC即可得出結論．

解答：解：（1）OF∥BC，OF=

1

2

BC．
理由：由垂徑定理得AF=CF．
∵AO=BO，
∴OF是△ABC的中位線．
∴OF∥BC，OF=

1

2

BC．

（2）連接OC．由（1）知OF=

1

2

．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠D=30°，
∴∠A=30°．
∴AB=2BC=2．
∴AC=

3

．
∴S_△AOC=

1

2

×AC×OF=

3

4

．
∵∠AOC=120°，OA=1，
∴S_扇形AOC=

120•π•OA2

360

=

π

3

．
∴S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC=

π

3

-

3

4

．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．