Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，點P為AB邊上一動點，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別為E、F．
（1）若n=2，則=______；
（2）當n=3時，連EF、DF，求的值；
（3）當n=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，那么CEPF就是個矩形．得到CE=PF從而不難求得CE：BF的值；
（2）可通過構建相似三角形來求解；
（3）可根據（2）的思路進行反向求解，即先通過EF，DF的比例關系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值即tanB=AC：BC的值．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四邊形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴CE：BF=PF：BF=tanB=AC：BC=．

（2）連DE，
∵∠ACB=90°，PE⊥CA，PF⊥BC，
∴四邊形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴==tanB．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠A=90°，∠ECD+∠A=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴△CED∽△BFD．
∴∠EDC=∠FDB．
∵∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠EDF=90°．
∵=tanB=，
設DE=a，DF=3a，
在直角三角形EDF中，根據勾股定理可得：EF=a．
∴．

（3）．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，通過相似三角形將所求線段之間的比例關系同已知的線段間的比例關系聯系在一起是解題的關鍵．