Question

已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形各邊長相等的性質可得AB=AC，易證△ABE≌△CAD；
（2）由（1）中全等三角形的對應邊、對應角相等得到BE=AD，∠ABE=∠CAD．易求得∠BPQ=∠BAC=60°，則BP=2PQ=12．所以AD=BE=BP+PE=12+2=14．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，

AB=CA  ∠BAC=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CAD
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP
即∠BPQ=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12．
∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．

點評：本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應邊、對應角相等的性質，等邊三角形各內角為60°的性質，本題中求證△ABE≌△CAD是解題的關鍵．