Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，AE、DC的延長線相交于點F，連接AC、BF．
（1）求證：AB=CF；
（2）若將梯形沿對角線AC折疊恰好D點與E點重合，梯形ABCD應滿足什么條件，能使四邊形ABFC為菱形？并加以證明；
（3）在（2）的條件下求sin∠CAF的值．

Answer 1

（1）證明：∵AB∥DC，
∴∠FCE=∠ABE，∠CFE=∠BAE．
又E是BC的中點，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．

（2）解：梯形ABCD應滿足∠ADC=90°，CD=BC．
理由如下：
∵AB∥CF，AB=CF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
要使它成為菱形，只需AF⊥BC．
根據將梯形沿對角線AC折疊恰好D點與E點重合，得
∠ADC=90°，CD=BC．

（3）解：∵四邊形ABFC為菱形，
∴AC=CF．
∴∠CAF=∠AFC．
∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF．
由于是折疊，得∠CAD=∠CAF．
∴∠ACD=2∠CAD．
又∠ADC=90°，
∴∠CAF=∠CAD=30°．
∴sin∠CAF=．
分析：（1）根據AAS或ASA可以證明△ABE≌△FCE，從而證明AB=CF；
（2）根據（1）的結論，知四邊形ABFC是平行四邊形，要使它成為菱形，則需AF⊥BC于E．結合折疊的方法，則∠ADC=∠AEC=90°，CD=BC；
（3）根據四邊形ABFC為菱形，得AC=CF，則∠CAF=∠AFC；根據三角形的外角的性質，得∠ACD=2∠CAF；根據折疊，得∠CAD=∠CAF，則∠ACD=2∠CAD，從而求得∠CAF=30°，進而求其正弦值．
點評：此題綜合運用了全等三角形的判定及性質、菱形的判定及性質、等腰三角形的性質、三角形的外角的性質以及折疊的性質．