Question

如圖，拋物線經過A（，0），C（2，-3）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）若將此拋物線平移，使其頂點為點D，需如何平移？寫出平移后拋物線的解析式；
（3）過點P（m，0）作x軸的垂線（1≤m≤2），分別交平移前后的拋物線于點E，F，交直線OC于點G，求證：PF=EG．

Answer 1

（1），（，）；（2）向左個單位長度，再向上平移個單位長度．平移后的拋物線解析式為：．（3）證明見解析.

試題分析：（1）把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x²+bx+c，得到關于b、c的二元一次方程組，解方程組求出b、c的值，即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求出頂點坐標；
（2）先求出拋物線y=x²-x-2與y軸交點D的坐標為（0，-2），再根據平移規律可知將點（，?）向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，可得到點D，然后利用頂點式即可寫出平移后的拋物線解析式為：y=x²-2；
（3）先用待定系數法求直線OC的解析式為y=-x，再將x=m代入，求出y_G=?m，y_F=m²-2，y_E=m²- m-2，再分別計算得出PF=-（m²-2）=2-m²，EG=y_G-y_E=2-m²，由此證明PF=EG．
（1）解：把A（，0），C（2，-3）代入得：
，解得： 
∴拋物線的解析式為：，
∵
∴其頂點坐標為：（，）．
（2）、解：向左個單位長度，再向上平移個單位長度．
平移后的拋物線解析式為：． 
(3)證明：用待定系數法求直線OC的解析式為y = －x,
當x=m時， =，則PF=－()=2－，
當x=m時，=，=，
則EG=－=2－，
∴PF=EG．