Question

在直角坐標(biāo)系x o y中，已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切時，設(shè)切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設(shè)交點為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標(biāo)．

②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形OKPA是正方形 （2）①A（0，），B（1，0）  C（3，0）．②滿足條件的M的坐標(biāo)有四個，分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）

【解析】

試題分析：解：（1）∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，

∴ PA⊥OA，PK⊥OK．

∴∠PAO=∠OKP=90°．

又∵∠AOK=90°，

∴  ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

∴四邊形OKPA是矩形．

又∵OA=OK，

∴四邊形OKPA是正方形．

（2）①連接PB，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為．

過點P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，

∴BC=PA=PB=PC．

∴△PBC為等邊三角形．

在R t △PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，

PG=．

Sin ∠ PBG=，即．

解之得：x=±2（負(fù)值舍去）．

∴ PG=，PA=BC=2．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．

設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c．

據(jù)題意得：

解之得：a=， b=， c=．

∴二次函數(shù)關(guān)系式為：． 

②解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y="u" x+ v，據(jù)題意得：

解之得：u=， v=．

∴直線BP的解析式為：．

過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：．

解方程組：

得： ； ．

過點C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：．

∴0=．   

∴．

∴直線CM的解析式為：．

解方程組：

得： ； ．

綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法二：∵，

∴A（0，），C（3，0）顯然滿足條件．

延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴點M的縱坐標(biāo)為．

又點M的橫坐標(biāo)為AM=PA+PM=2+2=4．

∴點M（4，）符合要求．

點（7，）的求法同解法一．

綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

解法三：延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．

又∵AM∥BC，

∴．

∴點M的縱坐標(biāo)為．

即．

解得：（舍），．

∴點M的坐標(biāo)為（4，）．

點（7，）的求法同解法一．

綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．

考點：正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何相結(jié)合

點評：該題較為復(fù)雜，主要考查學(xué)生對各種四邊形判定的理解和應(yīng)用，以及對二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合所構(gòu)成的特殊點的聯(lián)系和求解。