Question

如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B在雙曲線y=

k

x

(x＞0)上，BC與x軸交于點D．若點A的坐標為（1，2），則四邊形OABD的面積為

75

16

．

Answer 1

分析：首先求出直線AO解析式，進而得出AB直線解析，再利用AB直線解析式與反比例函數(shù)聯(lián)立求出B點坐標，進而利用S_{四邊形OABD}=S_△OAE-S_△BDE，求出即可．

解答：解：∵A在雙曲線上，∴k=xy=2，
故y=

2

x

，
設AO方程為y=kx，將A點坐標代入得出：
2=1×k，
解得：k=2，
故AO直線解析式為：y=2x，
∵AB⊥AO，
∴直線AB的解析式可以假設為y=-

1

2

x+b，
將A點坐標代入得：b=

5

2

，
故直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

，
將直線AB與反比例函數(shù)聯(lián)立得出：

y= 2 x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得：

x1=4 y1= 1 2

，

x2=1 y2=2

，
那么B點坐標為：（4，

1

2

），
∵BC∥AO，BC經過B點，
∴BC直線解析式一次項系數(shù)為：2，
故設解析式為：y=2x+c，
將B點代入得出：

1

2

=2×4+c
故 b=-

15

2

，
則直線BC解析式為：y=2x-

15

2

，
則BC與x軸交點D為：0=2x-

15

2

，
解得：x=

15

4

，
故D點坐標為：（

15

4

，0），
∵直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

，
∴AB與x軸交點坐標E為：（5，0），
則S_{四邊形OABD}
=S_△OAE-S_△BDE
=

1

2

×OE×|Ay|-

1

2

×DE×|By|
=

1

2

×5×2-

1

2

×（5-

15

4

）×

1

2

=5-

5

16

=

75

16

．
故答案為：

75

16

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識，得出D，E點坐標是解題關鍵．