Question

在平面直角坐標系xOy中，等腰三角形ABC的三個頂點A（0，1），點B在x軸的正半軸上，∠ABO=30°，點C在y軸上．
（1）直接寫出點C的坐標為

（0，3）或（0，-1）

；
（2）點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上，AP=1，在圖中標出點P的位置并說明理由；
（3）在（2）的條件下，在y軸上找到一點M，使PM+BM的值最小，則這個最小值為

57

2

．

Answer 1

分析：（1）先確定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=

3

，在y軸上符合條件的有兩點C₁和C₂，求出即可；
（2）根據AP=AO=1，得出P的對稱點是O點，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；
（3）作出B關于y軸的對稱點，連接PB′即可得出M點的位置，求出PB′長即可．

解答：解：（1）
符合條件的有兩點，以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交y軸于C₁、C₂點，
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2，OB=

3

，
即AC₁=AC₂=2，
∴OC₁=1+2=3，OC₂=2-1=2，
∴C的坐標是（0，3）或（0，-1），
故答案為：（0，3）或（0，-1）；

（2）P的坐標是（

3

2

，

3

2

），
理由是：過P作PQ⊥x軸于Q，
∵OA=1，AP=1，AO⊥x軸，
∴x軸和以A為圓心，以1為半徑的圓相切，
∵AP=1，
∴P在圓上，
∵點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上，AP=1，
∴P′點和O重合，如圖：
∵P和P′關于直線AB對稱，
∴PP′⊥AB，PC=P′C，
由三角形面積公式得：S_△AOB=

1

2

AO×OB=

1

2

AB×CO，
∴

3

×1=2OC，
∴OC=

3

2

，
∴PP′=2OC=

3

，
∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，
∴∠POB=60°，
∴PQ=OP×sin60°=

3

2

，OQ=OP×cos60°=

3

2

，
即P的坐標是（

3

2

，

3

2

）；

（3）
作B關于y軸的對稱點B′，連接PB′交y軸于M，則M為所求，
∵OB=

3

，
∴OB′=

3

，
即BB′=2

3

，
∵PQ=

3

2

，
∴由勾股定理得：PB′=

(2 3 )2+( 3 2 )2

=

57

2

，
∴PM+BM=PM+B′M=PB′=

57

2

，
故答案為：

57

2

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理等知識點的應用，題目綜合性比較強，難度偏大．