Question

15．已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A（-1，0）、B（0，3）兩點，其頂點為D．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的另一個交點為E． 求△ODE的面積；拋物線的對稱軸上是否存在點P使得△PAB的周長最短．若存在請求出P點的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點和B點坐標分別代入y=-x²+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）通過解方程-x²+2x+3=0得到E點坐標，再把一般式配成頂點式得到D點坐標，然后根據三角形面積公式計算△ODE的面積；連接BE交直線x=1于點P，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P點坐標．

解答 解：（1）根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）當y=0時，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則E（3，0）；
y=-（x-1）²+4，則D（1，4），
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
連接BE交直線x=1于點P，如圖，則PA=PE，
∴PA+PB=PE+PB=BE，
此時PA+PB的值最小，
易得直線BE的解析式為 y=-x+3．，
當x=1時，y=-x+3=3，
∴P（1，2）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了最短路徑問題．