新思維寒假作業系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
如圖，△
內接于⊙
，點
在
的延長線上，sinB＝
,∠CAD＝30°⑴求證:
是⊙的切線；⑵若
,求的長。
【解析】（1）連接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；
（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【答案】14
。
【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理．
【專題】探究型．
【分析】先由MN＝20求出⊙O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長，作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．
【解答】∵MN＝20，
∴⊙O的半徑＝10，
連接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，
∴OD＝
＝
＝8；
同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，
∴OC＝
＝
＝6，
∴CD＝8＋6＝14，
作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，
在Rt△AB′E中，
∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，
∴AB′＝
＝
＝14．
故答案為：14．
【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題、垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．
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科目：初中數學 來源：2011-2012學年福建省廈門市翔安區九年級適應性考試數學卷（解析版） 題型：填空題
如圖，△
內接于⊙
，點
在
的延長線上，sinB＝
,∠CAD＝30°⑴求證:
是⊙的切線；⑵若
,求的長。
【解析】（1）連接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圓周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等邊三角形，從而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；
（2）由于OC⊥AB，OC是半徑，利用垂徑定理可知OC是AB的垂直平分線，那么CA=CB，而∠B=30°，則∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函數值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求AD．
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=
，即NB•NB=BA•BC，又因為OB⊥MN，得MB=BN，所以MB•NB=BA•BC．
解：連接CN，如圖所示：
=
．
