Question

如圖，在△ABC中，AB=2，AC=BC= 5 ．

（1）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系如圖，請你分別寫出A、B、C三點的坐標；

（2）求過A、B、C三點且以C為頂點的拋物線的解析式；

（3）若D為拋物線上的一動點，當D點坐標為何值時，S_△ABD=S_△ABC；

（4）如果將（2）中的拋物線向右平移，且與x軸交于點A′B′，與y軸交于點C′，當平移多少個單位時，點C′同時在以A′B′為直徑的圓上（解答過程如果有需要時，請參看閱讀材料）．

附：閱讀材料

一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，對于一些特殊方程可以通過換元法轉化為一元二次方程求解．如解方程：y⁴-4y²+3=0．

解：令y²=x（x≥0），則原方程變為x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．

當x₁=1時，即y²=1，∴y₁=1，y₂=-1．

當x²=3，即y²=3，∴y₃= 3 ，y₄=- 3 ．

所以，原方程的解是y₁=1，y₂=-1，y₃= 3 ，y₄=- 3 ．

再如 ，可設 ，用同樣的方法也可求解．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據y軸是AB的垂直平分線，則可以求得OA，OB的長度，在直角△OAC中，利用勾股定理求得OC的長度，則A、B、C的坐標即可求解；

（2）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；

（3）首先求得△ABC的面積，根據S_△ABD= S_△ABC，以及三角形的面積公式，即可求得D的縱坐標，把D的縱坐標代入二次函數的解析式，即可求得橫坐標．

（4）設拋物線向右平移c個單位長度，則0＜c≤1，可以寫出平移以后的函數解析式，當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有：OC′²=OA•OB，據此即可得到一個關于c的方程求得c的值．

【解答】解：（1）∵AB的垂直平分線為y軸，

∴OA=OB=AB=×2=1，

∴A的坐標是（-1，0），B的坐標是（1，0）．

在直角△OAC中，，

則C的坐標是：（0，2）；

（2）設拋物線的解析式是：y=ax²+b，

根據題意得： ，解得：  ，

則拋物線的解析式是：；

（3）∵S_△ABC=AB•OC=×2×2=2，

∴S_△ABD=S_△ABC=1．

設D的縱坐標是m，則AB•|m|=1，

則m=±1．

當m=1時，-2x²+2=1，解得：x=±，

當m=-1時，，-2x²+2=-1，解得：x=± ，

則D的坐標是：（，1）或（- ，1）或（，-1），或（- ，-1）．

（4）設拋物線向右平移c個單位長度，則0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．

平移以后的拋物線的解析式是：y=-2（x-c）²+b．

令x=0，解得y=-2c²+2．即OC′= -2c²+2．

當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有：OC′²=OA′•OB′，

則（-2c²+2）²=（1-c）（1+c），

即（4c²-3）（c²-1）=0，

解得：c= ，（舍去），1，（舍去）．

故平移 或1個單位長度．

【點評】本題考查了勾股定理，待定系數法求二次函數的解析式，以及圖象的平移，正確理解：當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有：OC′²=OA•OB，是解題的關鍵．